1. 如何找費馬點
若有一個內角大於等於120度，就是這個頂點。
若沒有的話，就是到三邊張角均為120度的角。
你可以用尺規在一個邊AB外做一個正三角形。找出它的重心（AB邊中線距頂點2/3處）。以這點為圓心，過A,B兩點做圓，同理作BC,CA邊的圓，交點即為費馬點。
2. 怎樣做出費馬點
費馬問題)在三角形ABC內找一點P，使其到三個頂點的距離和是最小。（P稱為費馬點）
這是費馬給伽利略的學生和助手托里析利（E. TOrricelli 1608～1647）考慮的一個幾何難題。
托里析里在對物體運動，流體力學及大氣壓力有研究，他發明水銀柱氣壓計，由此證明大氣是有壓力。他對費馬的這個問題給出了幾何解決方法，先來介紹五十多年前一位英國人霍夫曼（J.E. Hofmann）以及匈牙利數學家笛波·伽累依（Tibor Gallai）先後想出同樣的一個解決方法。霍夫曼及伽累依是怎樣考慮費馬的問題呢？
先假設△ABC沒有一個角大於120°。在△ABC內任取一點P，如圖，向外作一正△PBP' 與C隔於BP，作正△ABC′ 與C隔於AB，容易看出，∠1=∠2，A'B=AB，P'B=PB，則△APB≌△A'BP'，進而PA=P'A'。即PA+PB+PC=P'A'+P'P+PC。A'和C是定點，若要使距離和最小，則需要P'P在A'C上。此時，∠3=180-60=120，則∠4=∠3=120。同理可證其餘各角都是120。
這就導出一則畫法：向△ABC外作正△ABA'，作其外接圓交A'C於P，P就是費馬點。
又或者向△ABC外任作兩正△,把它的頂點連接相對的三角形頂點,產生的2條連線交點為費馬點.
以下是托里析利的方法：以AB，AC為邊向外作兩個正三角形其外接圓交於A和P。過A的PA的垂線、過B的PB的垂線、過C的PC的垂線交成△XYZ，如圖。按作圖方法知道∠APB=120，但∠PBX=∠PAX=90，於是∠X=60，同理∠Y=∠Z=60，則△XYZ是等邊三角形。假定有一個不與P重合的點P'，過P'向這個等邊三角形引垂線P'A'、P'B'、P'C'，注意到直角三角形斜邊大於直角邊，又考慮一下維維亞尼定理(正三角內的點到三邊距離之和為定值)，於是
P'A +P'B +P'C
>P'A'+P'B'+P'C'
=PA +PB +PC
其最小性得證。於是也導出一種畫法：以AB、BC為邊向外作一個正三角形，再作其外接圓，兩個圓就交於費馬點。很巧在托里析利 300 年後的匈牙利著名數學家李茲（ Frederick Riesz ）也給出同樣的方法
3. 費馬點的尺規作圖法
（1）根據定義，首先判斷給定三角形的三個內角是否均小於120°.
1.以任意半徑畫圓0，並作出圓的一條直徑AB。
2.以點A（或點B）為圓心，OA（或OB）為半徑畫出圓A（或圓B）
3.兩圓相交於C點，連接AC，BC
4.則∠CBA或∠CAB為30°，∠C為90°，兩角相加即為120°
（2）若大於等於120°，則該鈍角頂點即為該三角形的費馬點
（3）若三角形的三個角均小於120°，則繼續做以下步驟
1.以三角形任意一邊a向外做等邊三角形
2.找出該等邊三角形的外心，並作出外接圓
3.連接a邊所對的兩個頂點(連接AD)
4.該連線與外接圓交點即為該三角形的費馬點
【步驟3證明】 如圖，E，B，D，C 四點共圓，∠D=60°，所以∠BEC=180°-∠D=120° 弧BD所對的圓周角∠BED=∠BCD=60°，所以∠AEB=120°
4. 費馬點的證明過程 要詳細
1.費馬點一定不在三角形外（證明略）
2.當有一個內角大於或等於120°時
對三角形內任一點P延長BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，並且使得AP'=AP,
PC'=PC，（說了這么多，其實就是把三角形APC以A為中心做了個旋轉）則△APC
≌
△AP'C'∵∠BAC
≥
120°∴∠PAP'
=
180°-∠BAP-∠C'AP'
=
180°-∠BAP-∠CAP
=
180°-∠BAC
≤
60°∴等腰三角形PAP'中，AP
≥
PP'∴PA
+
PB
+
PC
≥
PP'
+PB
+
PC'
>
BC'
=
AB
+
AC∴點A即費馬點
當三個內角都小於120°時
在△ABC內做一點P，使得∠APC
=∠BPC
=∠CPA
=
120°，過A、B、C分別作PA、PB、PC的垂線，交於D、E、F三點，如圖，再作任一異於P的點P'，連結P'A、P'B、P'C，過P'作P'H
⊥
EF於H易證明∠D
=∠E
=∠F
=
60°，即△DEF為正三角形，設邊長為d，面積為S則有2S
=
d(PA
+
PB
+
PC)∵P'H
≤
P'A所以2S△EP'F
≤
P'A
·d
①同理有2S△DP'F
≤
P'B·d
②2S△EP'D
≤
P'C·d
③①
+
②
+
③，得
2(S△EP'F
+
S△DP'F
+
S△EP'D)
≤
P'A·d
+
P'B·d
+
P'C·d
∴2S
≤
d(P'A
+
P'B
+
P'C)
又∵2S
=
d(PA
+
PB
+
PC)
∴d(PA
+
PB
+
PC)
≤
d(P'A
+
P'B
+
P'C)即PA
+
PB
+
PC
≤
P'A
+
P'B
+
P'C
當且僅當P與P'重合時，等號成立∴點P即費馬點
5. 怎樣做出三角形的「費馬點」
費馬點是指在三角形所在的平面內,到三角形三個頂點的距離的和最小的點.
(1).三內角皆小於120°的三角形ABC的費馬點，分別以
AB,BC,CA，為邊，向三角形外側做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然後連接AA1,BB1,CC1,則三線交於一點P,則點P就是所求的費馬點.
(2).若三角形有一內角大於或等於120度,則此角的頂點就是所求.
對於任意三角形△ABC，若三角形內某一點P令PA
+
PB
+
PC三線段有最小值的一點，P為費馬點。
作法
*
當三角形的內角都小於120度時
o
向外做三個正三角形△ABC'，△BCA'，△CAB'
o
連接CC'、BB'、AA'
*
當有一個內角不小於120度時，費馬點為此角對應頂點。
費馬點的另外一種解法
:
在一塊理想的（水平光滑）木板上畫上要研究的
符合條件的三角形（任意頂角小於120度）
在三個頂點和費馬點處打洞（無限小，壁光滑）
用三根繩子分別繫上三個同樣質量的物體，穿過
三個頂點的洞再打個結系在一起。（結當然也是理想的啦，無限小）
鬆手讓整個系統自由運動。那麼，繩結一定會落在
費馬點（能量最低原則保證在桌面上的繩子總長度最短）
然後，由於是三個大小相同的矢量在平面上平衡，（三個物體質量一樣）
所以三根繩子之間的夾角均為120度。
若P是三角形ABC內的一點,那麼就分別過A點,B點,C點作PA,PB,PC的垂線,使之構成新的三角形,然後你就可以證明只有當PA,PB,PC每兩條直線所成角為120度時,PA+PB+PC的和最小
6. 如何作費爾馬點
若三角形最大角大於等於120°，則最大角頂點就是費馬點；若最大角小於120°，以每邊向外作等邊三角形，分別作三角形的外接圓，三個圓交於一點，這點就是費馬點
7. 費馬點等邊三角形作法
（1）△ABC費馬點如圖所示：
8. 如何作費爾馬點急啊~~~~~~~
對於三角形ABC,只要其中最大角不超過120度,則費馬點在三角形內部.
分別以三邊為邊長,向外作三個正三角形.
這三個正三角形的外接圓交於一公共點,該點即為費馬點.
9. 怎麼找費馬點
若有一個內角大於等於120度，就是這個頂點。
若沒有的話，就是到三邊張角均為120度的角。
你可以用尺規在一個邊ab外做一個正三角形。找出它的重心（ab邊中線距頂點2/3處）。以這點為圓心，過a,b兩點做圓，同理作bc,ca邊的圓，交點即為費馬點。
10. 費馬點的解法與證明
怎麼證明費馬點到三角形頂點距離最短？2006年4月9日 (一) 以數學方法證明費馬點的存在及其特性：
Ⅰ.其實在之前就有一些有名的數學家提出相關的作 法及證明，我把文獻上找到的一一列於附件說明，另外我也試著做做看是否有其他的方式可以求出費馬點：
1.費馬點之求法
(1) 做一三內角均小於120°之△ABC。
(2) 以 ， 為一邊，分別向外側做正三角形△ABD與△ACE。
(3) 連接 ， 交於P點，則P點即為所求。
2.費馬點的性質：L= + + 為最小值。
～首先證明由上述作法做的費馬點存在-----
ㄅ.旋轉△BPC，
使 與 重合（ = ），
P點落在H處
則∠BPC=∠BHG=120°
ㄆ.又∠BHP=60°（證明在ㄇ）
∴∠BHG+∠BHP=180°
故A，P，H，G三點共線
ㄇ.∵△BHG △BPC
得 = ， =
∵∠2+∠3=60°且∠1=∠3
∴∠1+∠2=60°=∠PBH
因此△BPH為正△，得 =
知存在一點P使得 + + = + + =
～再來證明所求出的點至三頂點距離最小
ㄅ.在ABC內另取一點Q異於P，
連接 、 、
ㄆ.參考步驟（1）之證法同理可證得 + + = + +
ㄇ.
故P點使 + + 為最小值
Ⅱ.一般費馬點的探討僅限於三角皆小於120°三角形內部，那麼如果討論任一角大於或等於120°之三角形，是否能找到一點至三頂點距離和最短？
(1) △ABC的∠A＞120°，P為△ABC內部任一點
延長 至B'，使 =
做∠B'AP'=∠BAP，取 =
故△B'AP' △BAP，得 = 。
於是 + + = + + ，
(2) 但因∠A＞120°，故∠B'AB＜60°，
亦得∠PAP'＜60°；從而等腰三角形P'AP
中∠AP'P＞60°，故 ＞
則 + + ＞ + + ＞ + ，即 + + ＞ +
亦即：如果有一點P與A重合，則P點即是到A、B、C三點距離之和最小的點。
(3) 證得：若已知三角形有一內角大於或等於120°，則費馬點即為該內角的頂點。
Ⅲ.三內角皆小於120°的三角形才存在費馬點，但在日常生活中不止三角形需要找到一點到各頂點距離和最小ㄚ！也就是如果改變形狀後是否能找到一點P點，使得P點至頂點距離和最小，我們以下就最簡單的四邊形先做討論
(1) 已知：四邊形ABCD
求作：ABCD內的P點
做法：在四邊形ABCD中
∵對角線為直線
∴對角線 為A、C之間的最小距離
同理對角線 為B、D之間的最小距離
發現： 、 之交點P為四邊形ABCD內之一點使得 + + + 為最小值
即P點至四邊形四個頂點距離和最小
(2) 證明
在四邊形ABCD內另取一點P'異於P
連接 、 、 、
△P'BD、△AP'C中
+ ＞ 且 + ＞ （任兩邊和大於第三邊）
∴ + + + ＞ + = + + +
故P點使 + + + 為最小值
(二) 運用物理學方法探討費馬點之相關理論———常聽人說『數學是科學之
母』，那是否能運用科學方法驗證費馬點的存在性或一些費馬點的性質ㄋ？參考老師的意見並思考後做了一系列有關力學的實驗：
1. 實驗一：從三力平衡證明費馬點的性質－ 、 、 所夾的三個角必為120°。
(1) 以木條為邊組裝正三角形，三頂點各裝置一滑輪，取三條等長棉線一端各懸掛一等重黏土塊W，分別由三滑輪垂下，另一端連在一起代表P點。
(2) 讓重物自然垂下到達靜止狀態，量測∠APB、∠APC、∠BPC之角度（數據說明在表一）。
(3) 因為三重物重量相等，三條線的張力亦相同，即F1=F2=F3=W在平衡時所構成的力圖（參考圖A）形成的「封閉三角形（參考圖B）」為正三角形，亦即該力圖之三力所夾的三個角
皆為120°。
(4) 將步驟(2)之實驗裝置垂直置於一座標平面之上方，紀錄P點座標，再和（三）求出之P點一次函數，以電腦程式計算（詳細程式參考附件二）是否符合。
(5) 重復以上步驟5次，並改變三角形的形狀重復操作。
2. 實驗二：從實驗發現費馬點具有最低的位能的特性。
(1) 以木條為邊組裝正三角形ABC置於水平面上，三頂點各裝置一滑輪，取三條等長棉線一端各懸掛一等重黏土塊W，分別由三滑輪垂下，由實驗一已知P點為費馬點。
(2) 於P點（費馬點）懸掛一黏土塊W，讓重物自然垂直向下移動到達靜止狀態（裝置參考圖C），量測此時P點與水平面之垂直距離，分別作三次後取平均值，高度為hP。
(3) 將P點任意移