1. 如何找费马点
若有一个内角大于等于120度，就是这个顶点。
若没有的话，就是到三边张角均为120度的角。
你可以用尺规在一个边AB外做一个正三角形。找出它的重心（AB边中线距顶点2/3处）。以这点为圆心，过A,B两点做圆，同理作BC,CA边的圆，交点即为费马点。
2. 怎样做出费马点
费马问题)在三角形ABC内找一点P，使其到三个顶点的距离和是最小。（P称为费马点）
这是费马给伽利略的学生和助手托里析利（E. TOrricelli 1608～1647）考虑的一个几何难题。
托里析里在对物体运动，流体力学及大气压力有研究，他发明水银柱气压计，由此证明大气是有压力。他对费马的这个问题给出了几何解决方法，先来介绍五十多年前一位英国人霍夫曼（J.E. Hofmann）以及匈牙利数学家笛波·伽累依（Tibor Gallai）先后想出同样的一个解决方法。霍夫曼及伽累依是怎样考虑费马的问题呢？
先假设△ABC没有一个角大于120°。在△ABC内任取一点P，如图，向外作一正△PBP' 与C隔于BP，作正△ABC′ 与C隔于AB，容易看出，∠1=∠2，A'B=AB，P'B=PB，则△APB≌△A'BP'，进而PA=P'A'。即PA+PB+PC=P'A'+P'P+PC。A'和C是定点，若要使距离和最小，则需要P'P在A'C上。此时，∠3=180-60=120，则∠4=∠3=120。同理可证其余各角都是120。
这就导出一则画法：向△ABC外作正△ABA'，作其外接圆交A'C于P，P就是费马点。
又或者向△ABC外任作两正△,把它的顶点连接相对的三角形顶点,产生的2条连线交点为费马点.
以下是托里析利的方法：以AB，AC为边向外作两个正三角形其外接圆交于A和P。过A的PA的垂线、过B的PB的垂线、过C的PC的垂线交成△XYZ，如图。按作图方法知道∠APB=120，但∠PBX=∠PAX=90，于是∠X=60，同理∠Y=∠Z=60，则△XYZ是等边三角形。假定有一个不与P重合的点P'，过P'向这个等边三角形引垂线P'A'、P'B'、P'C'，注意到直角三角形斜边大于直角边，又考虑一下维维亚尼定理(正三角内的点到三边距离之和为定值)，于是
P'A +P'B +P'C
>P'A'+P'B'+P'C'
=PA +PB +PC
其最小性得证。于是也导出一种画法：以AB、BC为边向外作一个正三角形，再作其外接圆，两个圆就交于费马点。很巧在托里析利 300 年后的匈牙利着名数学家李兹（ Frederick Riesz ）也给出同样的方法
3. 费马点的尺规作图法
（1）根据定义，首先判断给定三角形的三个内角是否均小于120°.
1.以任意半径画圆0，并作出圆的一条直径AB。
2.以点A（或点B）为圆心，OA（或OB）为半径画出圆A（或圆B）
3.两圆相交于C点，连接AC，BC
4.则∠CBA或∠CAB为30°，∠C为90°，两角相加即为120°
（2）若大于等于120°，则该钝角顶点即为该三角形的费马点
（3）若三角形的三个角均小于120°，则继续做以下步骤
1.以三角形任意一边a向外做等边三角形
2.找出该等边三角形的外心，并作出外接圆
3.连接a边所对的两个顶点(连接AD)
4.该连线与外接圆交点即为该三角形的费马点
【步骤3证明】 如图，E，B，D，C 四点共圆，∠D=60°，所以∠BEC=180°-∠D=120° 弧BD所对的圆周角∠BED=∠BCD=60°，所以∠AEB=120°
4. 费马点的证明过程 要详细
1.费马点一定不在三角形外（证明略）
2.当有一个内角大于或等于120°时
对三角形内任一点P延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP,
PC'=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）则△APC
≌
△AP'C'∵∠BAC
≥
120°∴∠PAP'
=
180°-∠BAP-∠C'AP'
=
180°-∠BAP-∠CAP
=
180°-∠BAC
≤
60°∴等腰三角形PAP'中，AP
≥
PP'∴PA
+
PB
+
PC
≥
PP'
+PB
+
PC'
>
BC'
=
AB
+
AC∴点A即费马点
当三个内角都小于120°时
在△ABC内做一点P，使得∠APC
=∠BPC
=∠CPA
=
120°，过A、B、C分别作PA、PB、PC的垂线，交于D、E、F三点，如图，再作任一异于P的点P'，连结P'A、P'B、P'C，过P'作P'H
⊥
EF于H易证明∠D
=∠E
=∠F
=
60°，即△DEF为正三角形，设边长为d，面积为S则有2S
=
d(PA
+
PB
+
PC)∵P'H
≤
P'A所以2S△EP'F
≤
P'A
·d
①同理有2S△DP'F
≤
P'B·d
②2S△EP'D
≤
P'C·d
③①
+
②
+
③，得
2(S△EP'F
+
S△DP'F
+
S△EP'D)
≤
P'A·d
+
P'B·d
+
P'C·d
∴2S
≤
d(P'A
+
P'B
+
P'C)
又∵2S
=
d(PA
+
PB
+
PC)
∴d(PA
+
PB
+
PC)
≤
d(P'A
+
P'B
+
P'C)即PA
+
PB
+
PC
≤
P'A
+
P'B
+
P'C
当且仅当P与P'重合时，等号成立∴点P即费马点
5. 怎样做出三角形的“费马点”
费马点是指在三角形所在的平面内,到三角形三个顶点的距离的和最小的点.
(1).三内角皆小于120°的三角形ABC的费马点，分别以
AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.
(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此角的顶点就是所求.
对于任意三角形△ABC，若三角形内某一点P令PA
+
PB
+
PC三线段有最小值的一点，P为费马点。
作法
*
当三角形的内角都小于120度时
o
向外做三个正三角形△ABC'，△BCA'，△CAB'
o
连接CC'、BB'、AA'
*
当有一个内角不小于120度时，费马点为此角对应顶点。
费马点的另外一种解法
:
在一块理想的（水平光滑）木板上画上要研究的
符合条件的三角形（任意顶角小于120度）
在三个顶点和费马点处打洞（无限小，壁光滑）
用三根绳子分别系上三个同样质量的物体，穿过
三个顶点的洞再打个结系在一起。（结当然也是理想的啦，无限小）
松手让整个系统自由运动。那么，绳结一定会落在
费马点（能量最低原则保证在桌面上的绳子总长度最短）
然后，由于是三个大小相同的矢量在平面上平衡，（三个物体质量一样）
所以三根绳子之间的夹角均为120度。
若P是三角形ABC内的一点,那么就分别过A点,B点,C点作PA,PB,PC的垂线,使之构成新的三角形,然后你就可以证明只有当PA,PB,PC每两条直线所成角为120度时,PA+PB+PC的和最小
6. 如何作费尔马点
若三角形最大角大于等于120°，则最大角顶点就是费马点；若最大角小于120°，以每边向外作等边三角形，分别作三角形的外接圆，三个圆交于一点，这点就是费马点
7. 费马点等边三角形作法
（1）△ABC费马点如图所示：
8. 如何作费尔马点急啊~~~~~~~
对于三角形ABC,只要其中最大角不超过120度,则费马点在三角形内部.
分别以三边为边长,向外作三个正三角形.
这三个正三角形的外接圆交于一公共点,该点即为费马点.
9. 怎么找费马点
若有一个内角大于等于120度，就是这个顶点。
若没有的话，就是到三边张角均为120度的角。
你可以用尺规在一个边ab外做一个正三角形。找出它的重心（ab边中线距顶点2/3处）。以这点为圆心，过a,b两点做圆，同理作bc,ca边的圆，交点即为费马点。
10. 费马点的解法与证明
怎么证明费马点到三角形顶点距离最短？2006年4月9日 (一) 以数学方法证明费马点的存在及其特性：
Ⅰ.其实在之前就有一些有名的数学家提出相关的作 法及证明，我把文献上找到的一一列于附件说明，另外我也试着做做看是否有其他的方式可以求出费马点：
1.费马点之求法
(1) 做一三内角均小于120°之△ABC。
(2) 以 ， 为一边，分别向外侧做正三角形△ABD与△ACE。
(3) 连接 ， 交于P点，则P点即为所求。
2.费马点的性质：L= + + 为最小值。
～首先证明由上述作法做的费马点存在-----
ㄅ.旋转△BPC，
使 与 重合（ = ），
P点落在H处
则∠BPC=∠BHG=120°
ㄆ.又∠BHP=60°（证明在ㄇ）
∴∠BHG+∠BHP=180°
故A，P，H，G三点共线
ㄇ.∵△BHG △BPC
得 = ， =
∵∠2+∠3=60°且∠1=∠3
∴∠1+∠2=60°=∠PBH
因此△BPH为正△，得 =
知存在一点P使得 + + = + + =
～再来证明所求出的点至三顶点距离最小
ㄅ.在ABC内另取一点Q异于P，
连接 、 、
ㄆ.参考步骤（1）之证法同理可证得 + + = + +
ㄇ.
故P点使 + + 为最小值
Ⅱ.一般费马点的探讨仅限于三角皆小于120°三角形内部，那么如果讨论任一角大于或等于120°之三角形，是否能找到一点至三顶点距离和最短？
(1) △ABC的∠A＞120°，P为△ABC内部任一点
延长 至B'，使 =
做∠B'AP'=∠BAP，取 =
故△B'AP' △BAP，得 = 。
于是 + + = + + ，
(2) 但因∠A＞120°，故∠B'AB＜60°，
亦得∠PAP'＜60°；从而等腰三角形P'AP
中∠AP'P＞60°，故 ＞
则 + + ＞ + + ＞ + ，即 + + ＞ +
亦即：如果有一点P与A重合，则P点即是到A、B、C三点距离之和最小的点。
(3) 证得：若已知三角形有一内角大于或等于120°，则费马点即为该内角的顶点。
Ⅲ.三内角皆小于120°的三角形才存在费马点，但在日常生活中不止三角形需要找到一点到各顶点距离和最小ㄚ！也就是如果改变形状后是否能找到一点P点，使得P点至顶点距离和最小，我们以下就最简单的四边形先做讨论
(1) 已知：四边形ABCD
求作：ABCD内的P点
做法：在四边形ABCD中
∵对角线为直线
∴对角线 为A、C之间的最小距离
同理对角线 为B、D之间的最小距离
发现： 、 之交点P为四边形ABCD内之一点使得 + + + 为最小值
即P点至四边形四个顶点距离和最小
(2) 证明
在四边形ABCD内另取一点P'异于P
连接 、 、 、
△P'BD、△AP'C中
+ ＞ 且 + ＞ （任两边和大于第三边）
∴ + + + ＞ + = + + +
故P点使 + + + 为最小值
(二) 运用物理学方法探讨费马点之相关理论———常听人说‘数学是科学之
母’，那是否能运用科学方法验证费马点的存在性或一些费马点的性质ㄋ？参考老师的意见并思考后做了一系列有关力学的实验：
1. 实验一：从三力平衡证明费马点的性质－ 、 、 所夹的三个角必为120°。
(1) 以木条为边组装正三角形，三顶点各装置一滑轮，取三条等长棉线一端各悬挂一等重黏土块W，分别由三滑轮垂下，另一端连在一起代表P点。
(2) 让重物自然垂下到达静止状态，量测∠APB、∠APC、∠BPC之角度（数据说明在表一）。
(3) 因为三重物重量相等，三条线的张力亦相同，即F1=F2=F3=W在平衡时所构成的力图（参考图A）形成的“封闭三角形（参考图B）”为正三角形，亦即该力图之三力所夹的三个角
皆为120°。
(4) 将步骤(2)之实验装置垂直置于一座标平面之上方，纪录P点座标，再和（三）求出之P点一次函数，以电脑程式计算（详细程式参考附件二）是否符合。
(5) 重复以上步骤5次，并改变三角形的形状重复操作。
2. 实验二：从实验发现费马点具有最低的位能的特性。
(1) 以木条为边组装正三角形ABC置于水平面上，三顶点各装置一滑轮，取三条等长棉线一端各悬挂一等重黏土块W，分别由三滑轮垂下，由实验一已知P点为费马点。
(2) 于P点（费马点）悬挂一黏土块W，让重物自然垂直向下移动到达静止状态（装置参考图C），量测此时P点与水平面之垂直距离，分别作三次后取平均值，高度为hP。
(3) 将P点任意移